经典“羊车门”概率问题解答
羊车门问题出自美国《parade》杂志中一个叫作“ask marilyn”的专栏，问题表述如下：
台上有三个门，参赛者需要在三扇门中选择一扇门打开。其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊（主持人提前知道哪扇门后是山羊，且一定打开后面是山羊的门）。这时，他给参赛者可以重选的机会，也就是可以换选剩下的另一扇门。
那么，关于换不换的问题，有人认为应该换，有人认为不应该换，也有人认为换不换都一样。此问题在当时引起了很大的争议，时至今日也存在着许多不同的看法。
我个人认为应该选择换，选择换门最终能赢得汽车的概率更大一些。
三扇门，两羊一车，从表面上看，在得知第三扇门（假设主持人打开的是第三扇门）后是羊的情况下，1号门与2号门后，有一扇门后是车，一扇门后是羊，选择1号门或2号门，无论换与不换，赢得汽车的可能性是相同的，因为每扇门后面非羊即车，实则不然。
在打开第三扇门是羊的前提下，剩下的两扇门中一羊一车，如果参赛者在第一轮中选择的是后面是羊的门，那么换门后它会看到汽车，如果参赛者在第一轮中选择的是后面是汽车的门，那么换门后它会看到羊。
从概率角度分析，在不换门情况下，赢得汽车的情况是参赛者在第一轮就选到后面是汽车的门，第一轮选到汽车是三选一，概率为1/3。在换门的情况下，赢得汽车的情况是参赛者在第一轮选到的是后面是羊的门，这样才能在第二轮中换门来选到后面是汽车的门，第一轮选到羊是三选二，概率为2/3。
如果是三扇门两羊一车理解起来比较困难的话，可以更改游戏规则，反复体会其中道理。现有100扇门，其中99扇门后面是羊，1扇门后面是汽车。参赛者在第一轮选择完毕后，主持人会打开98扇后面是羊的门，剩下两扇门，问参赛者要不要更换选择。
参赛者肯定希望最终能够打开后面是汽车的门，如果选择不换门，那么意味着参赛者认定自己第一轮选的这扇门后面是汽车，第一轮有100扇门可以选择，因此他在第一轮选到汽车的概率是1/100。如果选择换门，那么意味着参赛者第一轮选的这扇门后面只要是羊就可以，这样才能在换门后选到汽车，而他在第一轮选到羊的概率是99/100。因此换门能赢得汽车的概率更大。
更改规则后的游戏，其中的原理与原问题一致，只不过增大了换门与不换门赢得汽车之间概率的差值，个人觉得更容易理解问题。
参考代码如下：
publicstaticvoidmain(String[] args) { String[] door=newString[100]; // 新建一个数组，其中每个元素代表1扇门// 初始化100扇门后是羊for (inti=0; i<door.length; i++) { door[i] ="羊"; } Randomr=newRandom(); intnumber=r.nextInt(100); // 生成一个0-99之间的随机数numberdoor[number] ="车"; // 给随机生成的第number个索引位置赋值为汽车，意为将汽车放到第（number + 1）扇门后面// 此时已完成99扇门后是羊，随机1扇门后是汽车// 接收用户数据，第一轮选择第几扇门Scannersc=newScanner(System.in); System.out.println("请选择1-100中的第几道门："); intchoose=sc.nextInt(); System.out.print("第"); intline=0; // 定义变量line，展示数据时换行用if (door[choose-1] =="车") { // 如果第一次选择的门后面是车，则在剩下99扇后面是羊的门中输出随机的98扇intrandom=r.nextInt(100); // 随机生成不输出的1扇门// 若随机生成的门恰好是第一次选择的门，则重新生成while (random==choose-1) { random=r.nextInt(100); } // 在剩下99扇后面是羊的门中输出随机的98扇for (inti=0; i<door.length; i++) { // 如果是刚刚随机生成的1扇门或后面是汽车的门，则跳过，不输出if (i==random|i== (choose-1)) { continue; } System.out.println((i+1) +"、"); // 每40条数据换行if (line%40==0) { System.out.println(); } } } else { // 如果第一次选择的门后面是羊，则输出剩下的后面是羊的98扇门// 打开98扇后面是羊的门，剩下2扇门未打开（参赛者第一轮选择的门和后面是汽车的门）for (inti=0; i<door.length; i++) { StringsheetDoor=door[i]; // 遍历每扇门，查看门后是什么// 输出除第一轮选择的门之外的后面是羊的98扇门if (sheetDoor=="羊"& (i+1) !=choose) { System.out.print((i+1) +"、"); line++; } // 每40条数据换行if (line%40==0) { System.out.println(); } } } System.out.println("道门后面是羊"); System.out.println("请选择要不要换门，1换，2不换"); // 接收用户数据，第二轮的选择intchoose2=sc.nextInt(); // 若选择不换，则输出该扇门后的东西，并给出相应提示if (choose2==2) { System.out.println("你选择不换，第"+choose+"道门后是"+door[(choose-1)]); if (door[(choose-1)] =="车") { System.out.println("恭喜你，选中了车"); } else { System.out.println("很遗憾，你选中了羊"); } } else { // 否则说明换，输出该扇门后的东西，并给出相应提示System.out.println("你选择换，第"+choose+"道门后是"+door[(choose-1)]); if (door[(choose-1)] =="羊") { System.out.println("恭喜你，选中了车"); } else { System.out.println("很遗憾，你选中了羊"); } } // 输出第几扇门后面是车，验证结果正确性for (inti=0; i<door.length; i++) { // 如果第i+1扇门后是车，则输出结果并结束循环，否则继续遍历if (door[i] =="车") { System.out.println("第"+ (i+1) +"道门后是车"); break; } } }
选择不换门，基本上不会赢得汽车（1/100）。
注：并不是说换门的情况下，一定能赢得汽车，只是讲在不知道其他条件的情况下，换门的情况有较大几率赢得汽车。
参考资料
[1] Antineutrino 蒙提霍尔悖论（三门问题）终极分析 [J/OL] https://www.cnblogs.com/antineutrino/p/4821580.html
[2] 田晨景 胡雄等.再谈“羊车门”问题 [J] .教育教学论坛, 2016,(42)
