隐马模型的评估问题即，在已知一个观察序列O=O1O2...OT，和模型μ=（A,B,π}的条件下，观察序列O的概率，即P(O|μ}
如果穷尽所有的状态组合，即S1S1...S1, S1S1...S2, S1S1...S3, ..., S3S3...S3。这样的话t1时刻有N个状态，t2时刻有N个状态...tT时刻有N个状态，这样的话一共有N*N*...*N= NT种组合，时间复杂度为O(NT),计算时，就会出现“指数爆炸”，当T很大时，简直无法计算这个值。为解决这一问题，Baum提出了前向算法。
归纳过程
首先引入前向变量αt(i):在时间t时刻，HMM输出序列为O1O2...OT,在第t时刻位于状态si的概率。
当T=1时，输出序列为O1,此时计算概率为P(O1|μ）：假设有三个状态（如下图）1、2、3，输出序列为O1，有三种可能一是状态1发出，二是从状态2发出，三是从状态3发出。另外从状态1发出观察值O1得概率为b1(O1),从状态2发出观察值O1得概率为b2(O1),从状态3发出观察值O1得概率为b3(O1)。因此可以算出
P(O1|μ）= π1*b1(O1)+π2*b2(O1) + π3*b3(O1)= α1(1) + α1(2) + α1(3)
当T=2时，输出序列为O1O2,此时计算概率为P(O1O2|μ）：假设有三个状态（如下图）1、2、3，输出序列为O1，有三种可能一是状态1发出，二是从状态2发出，三是从状态3发出。另外从状态1发出观察值O2得概率为b1(O2),从状态2发出观察值O2得概率为b2(O2),从状态3发出观察值O2得概率为b3(O2)。
要是从状态1发出观察值O2，可能从第一时刻的1、2或3状态装换过来，要是从状态1转换过来，概率为α1(1)*a11*b1(O2),要是从状态2转换过来，概率为α1(2)*a21*b1(O2),要是从状态3转换过来，概率为α1(3)*a31*b1(O2),因此
P(O1O2,q2=s1|μ）= α1(1)*a11*b1(O2) + α1(2)*a21*b1(O2) + α1(3)*a31*b1(O2)=α2(1)
同理：P(O1O2,q2=s1|μ）= α1(1)*a12*b2(O2) + α1(2)*a22*b2(O2) + α1(3)*a32*b2(O2)=α2(2)
P(O1O2,q2=s1|μ）= α1(1)*a13*b1(O2) + α1(2)*a23*b3(O2) + α1(3)*a33*b3(O2)=α2(3)
所以：P(O1O2|μ）=P(O1O2,q2=s1|μ）+ P(O1O2,q2=s1|μ）+ P(O1O2,q2=s1|μ）
=α2(1) + α2(2) + α2(3)
以此类推。。。
前向算法
step1 初始化：α1(i) = πi*bi(O1), 1≤i≤N
step2 归纳计算:
step3 终结：
P(O|μ）=
时间复杂度
计算某时刻的某个状态的前向变量需要看前一时刻的N个状态，此时时间复杂度为O(N),每个时刻有N个状态，此时时间复杂度为N*O(N)=O(N2),又有T个时刻，所以时间复杂度为T*O(N2)=O(N2T)。
程序例证
前向算法计算P(O|M)：
step1：α1(1) =π1*b1(red)=0.2*0.5=0.1 α1(2)=π2*b2(red)==0.4*0.4= 0.16 α1(3)=π3*b3(red)==0.4*0.7=0.21
step2：α2(1)=α1(1)*a11*b1(white) + α1(2)*a21*b1(white) + α1(3)*a31*b1(white)
...
step3:P(O|M) = α3(1)+α3(2)+α3(3)
程序代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> int main() { float a[3][3] = {{0.5,0.2,0.3},{0.3,0.5,0.2},{0.2,0.3,0.5}}; float b[3][2] = {{0.5,0.5},{0.4,0.6},{0.7,0.3}}; float alpha[4][3]; int i,j,k, count = 1; //output list int list[4] = {0,1,0,1}; //step1:Initialization alpha[0][0] = 0.2 * 0.5; alpha[0][1] = 0.4 * 0.4; alpha[0][2] = 0.4 * 0.7; //step2:iteration for (i=1; i<=3; i++) { for(j=0; j<=2; j++) { alpha[i][j] = 0; for(k=0; k<=2; k++) { alpha[i][j] += alpha[i-1][k] * a[k][j] * b[j][list[count]]; } } count += 1; } for (i=0; i<=3; i++) { for(j=0; j<=2; j++) { printf("a[%d][%d]=%f\n",i+1,j+1,alpha[i][j]); } } //step3:end printf("Forward:%f\n", alpha[3][0]+alpha[3][1]+alpha[3][2]); return 0; }
运行结果
本文转自jihite博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/kaituorensheng/archive/2012/12/01/2797230.html，如需转载请自行联系原作者
